15 Testy nieparametryczne

Nie wymagają spełnienia założenia o normalności rozkładu (w przeciwieństwie do metod parametrycznych, które zakładają, że dane są ilościowe, populacja posiada rozkład normalny, a próba ma odpowiednią wielkość)
Wnioski wysunięte na podstawie testów nieparametrycznych nie mają tak dużej mocy jak testu parametryczne (zazwyczaj)
Wymagają spełnienia mniejszej liczby założeń, są bardziej elastyczne oraz można je stosować również do danych nieilościowych
Są oparte o analizę rang (czyli o kolejność a nie aktualne wartości)
Dane w porównywanych grupach są porządkowane (rosnąco lub malejąco) i na tej podstawie są wykonywane obliczenia
Metody nieparametryczne są najbardziej odpowiednie w przypadku prób o małych liczebnościach (patrz Centralne Twierdzenie Graniczne), zazwyczaj jako górną granicę stosowania testów nieparametycznych przyjmuje się n=100

library(gapminder)
library(dplyr)
library(tidyr)

data('gapminder', package = 'gapminder')

15.1 Test U Manna-Whitneya

Nieparametryczna alternatywa testu t-Studenta dla prób niezależnych
Stosowany, gdy rozkład w populacji odbiega od normalnego lub gdy skala jest porządkowa, ale nie jest przedziałowa
Moc testu jest znaczaco większa od testu t-Studenta, gdy rozkład odbiega wyraźnie od normalnego

gapminder2007 = subset(gapminder, year == 2007)
head(gapminder2007)

# A tibble: 6 × 6
  country     continent  year lifeExp      pop gdpPercap
  <fct>       <fct>     <int>   <dbl>    <int>     <dbl>
1 Afghanistan Asia       2007    43.8 31889923      975.
2 Albania     Europe     2007    76.4  3600523     5937.
3 Algeria     Africa     2007    72.3 33333216     6223.
4 Angola      Africa     2007    42.7 12420476     4797.
5 Argentina   Americas   2007    75.3 40301927    12779.
6 Australia   Oceania    2007    81.2 20434176    34435.

Przykład: Czy pomiędzy Amerykami a Azją jest istotna statystycznie różnica w wartościach PKB na osobę?

gapminder2007_sel = filter(gapminder2007, 
                           continent %in% c("Asia", "Americas"))

wilcox.test(gdpPercap ~ continent, data = gapminder2007_sel)


    Wilcoxon rank sum exact test

data:  gdpPercap by continent
W = 486, p-value = 0.2539
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Wynik testu wskazuje na brak istotnych statystycznie różnic w PKB między Azją a Amerykami w 2007 roku.

Porównaj wartości oczekiwanej długości życia pomiędzy Afryką a Azją w 2007 roku. Stwórz wizualizację, a następnie wykonaj test statystyczny. Jaki dał on wynik?

Solution

Rozwiązanie:

Wynik testu wskazuje na istnieie istotnych statystycznie różnic w długości trwania życia między Azją a Afrryką w 2007 roku.

gapminder2007_sel = filter(gapminder, year == 2007 & continent %in% c("Africa", "Asia"))
ggplot(gapminder2007_sel, aes(x = continent, y = lifeExp)) + geom_boxplot() + theme_bw()
wilcox.test(lifeExp ~ continent, data = gapminder2007_sel)

15.2 Test Wilcoxona

Nieparametryczna alternatywa testu t-Studenta dla prób zależnych
Test wykorzystywany jest do oceny zmian
Test Wilcoxona zakłada, że losowa próba z populacji ma symetryczny rozkład (niekoniecznie normalny)

Przykład: Czy pomiędzy rokiem 1987 a 2007 nastąpiła istotnie statystyczna zmiana w wartościach oczekiwanej długości życia?

gapminder8707 <- gapminder %>% 
  filter(year %in% c(1987, 2007)) %>% 
  select(country, year, lifeExp) %>% 
  pivot_wider(values_from = lifeExp, 
              names_from = year) %>% 
  setNames(c("kraj", "rok1987", "rok2007"))

head(gapminder8707)

# A tibble: 6 × 3
  kraj        rok1987 rok2007
  <fct>         <dbl>   <dbl>
1 Afghanistan    40.8    43.8
2 Albania        72      76.4
3 Algeria        65.8    72.3
4 Angola         39.9    42.7
5 Argentina      70.8    75.3
6 Australia      76.3    81.2

wilcox.test(gapminder8707$rok1987,
            gapminder8707$rok2007,
            paired = TRUE)


    Wilcoxon signed rank test with continuity correction

data:  gapminder8707$rok1987 and gapminder8707$rok2007
V = 1441, p-value = 1.337e-13
alternative hypothesis: true location shift is not equal to 0

Interpretacja: Wartość p-value wynosi 1.337e-13 i jest mniejsza od założonego progu. Istnieją zatem istotne statystycznie różnice w długości trwania życia między rokiem 1987 a 2007.

Porównaj PKB na osobę pomiędzy krajami z Europy pomiędzy rokiem 1977 a 1987. Czy pomiędzy tymi latami można zauważyć różnicę w PKB? Stwórz wizualizację, a następnie wykonaj test statystyczny. Jaki dał on wynik?

Solution

Rozwiązanie:

Wartość p-value wynosi 9.313e-09 i jest mniejsza od założonego progu. Istnieją zatem istotne statystycznie różnice w PKB krajów Europy między rokiem 1977 a 1987.

gapminder7787 <- gapminder %>% 
  filter(year %in% c(1977, 1987) & continent == 'Europe') %>% 
  select(country, year, gdpPercap) 

# wizualizacja 
ggplot(gapminder7787, aes(x = factor(year), y = gdpPercap)) + geom_boxplot()

# format danych użyty w teście
gapminder7787wide <-  gapminder7787 %>%
  pivot_wider(values_from = gdpPercap, 
              names_from = year) %>% 
  setNames(c("kraj", "rok1977", "rok1987"))

#test
wilcox.test(gapminder7787wide$rok1977,
            gapminder7787wide$rok1987,
            paired = TRUE)